Формула геометрической прогрессии зависит от того, что именно нужно вычислить. Есть несколько основных формул:
1. n-й член геометрической прогрессии:
- aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹
где:
- aₙ — n-й член прогрессии
- a₁ — первый член прогрессии
- q — знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему)
- n — номер члена прогрессии
Вывод:
Рассмотрим первые несколько членов геометрической прогрессии:
- a₁
- a₂ = a₁ * q
- a₃ = a₂ * q = a₁ * q * q = a₁ * q²
- a₄ = a₃ * q = a₁ * q² * q = a₁ * q³
- …
- aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹
Видим закономерность: каждый последующий член получается умножением предыдущего на знаменатель q. После n-1 умножений на q получаем формулу aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹.
2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии:
- Sₙ = a₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q), если q ≠ 1
- Sₙ = n * a₁, если q = 1
Вывод (для q ≠ 1):
Сумма первых n членов: Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
Подставляем формулу для n-го члена:
Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁qⁿ⁻¹
Выносим a₁ за скобки:
Sₙ = a₁ (1 + q + q² + … + qⁿ⁻¹)
Это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем q. Сумма геометрической прогрессии 1 + q + q² + … + qⁿ⁻¹ вычисляется по формуле суммы геометрической прогрессии:
(1 — qⁿ) / (1 — q)
Подставляем это обратно в выражение для Sₙ:
Sₙ = a₁ * (1 — qⁿ) / (1 — q)
Если q = 1, то все члены прогрессии равны a₁, и сумма первых n членов равна n * a₁.
Эти две формулы – основные для работы с геометрическими прогрессиями. Зная любые три из четырех величин (a₁, q, n, aₙ или Sₙ), можно найти четвертую используя эти формулы.